こんんちは。Horyです。
今まで、私たちは軸に対して関数を一回転させることで回転体の体積を求めてきました。
今回の記事では、X軸でない直線に対して関数を一回転させるときの回転体の体積を求める手法を簡単に説明したいと思います。
かなり難しい問題になりますが、頑張りましょう。
軸でない直線に対する回転体の体積
以下に示すのはこの記事で取り組む問題です。
この問題を例に解説します。（１）と（２）は誘導になります。本命は（３）になります。
問題を解く前の下準備
まずは、問題を解く前の下準備です。図を描きましょう。
上の図の黒色の斜線部を直線の周りに一回転させてできる回転体の体積を求めます。この認識はしっかりと持ってください。
回転体の体積を求める手順を以下に示します。
- 放物線上の点と直線の垂線の長さの方程式導出・・・(1)
- 直線y=axを軸としたときのOHとtの関係式・・・(2)
- OH=Xと置いて、π×「垂線の方程式の二乗」をXで積分・・・(3)
この手順で行きます。
（１）解答・解説
点と直線の距離を用いればいいだけです。何ら難しくありません。これはできてほしいです。
以上が解答になります。
（２）解答・解説
（２）の解答・解説です。これもできてほしい問題です。三平方の定理を用いるだけです。
これで回転の軸に対して放物線がどういう関係になっているかを導けました。
（３）解答・解説
（３）の解答・解説です。
積分範囲は原点から放物線と直線の交点の長さにほかなりません。
軸である直線の積分範囲は以下になります。
軸である直線「y=ax」から見たときの放物線の方程式は（１）で求めた垂線の足にほかなりません。
多項式関数の積分なので細かい計算は省略します。
