こんにちは。Horyです。
今回の記事では三角形のtanに関する式について解説しようと思います。
題名にもなっている和と積に関するtanの等式は非常に面白いのです。
今回も頑張りましょう。
tan A＋tan B＋tan C ＝ tan A tan B tan C
これに関して考察していきます。
考察1；等式の証明 (角度の和は180°)
角度の和が180°であることを利用してこの等式を証明します。
以上により成立します。
こういった問題では変数を減らせるのであればそれに飛びつくのが吉です。
加法定理や角度の性質はこちらの記事です。
考察1；等式の証明 (加法定理)
上の解答でも加法定理を用いましたが、本解答では加法定理の使い方が違います。
以上により証明できました。
考察2；三角形の形状
三角形の形状に関する考察を行います。
上の等式が成立するとして、左辺に相加相乗平均を利用します。
相加相乗平均に関する記事はこちらです。
等号成立は全てのtanが等しいときです。
そのため、tanの3数和が最小のとき、ABCは正三角形です。
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