こんにちは。horyです。
今回の記事から通過範囲を求める問題について解説していこうと思います。
結構難しい問題ではあるので今回も頑張りましょう。
円についての記事や領域に関する記事は以下に書かれているので事前に読んでおくことをお勧めします。
円周の通過範囲を求める問題
以下はこの記事で取り組む問題です。
このような通過範囲の問題は条件の言い換えが非常に有効です。
つまり、「通過範囲を求める」ことは「aの存在条件を求める」ことと同じになります。
問題を解く前の下準備
まず、円周の方程式をaの二次方程式に変形します。
二次方程式の実数解条件を考えます。
二次方程式の実数解に関する記事はこちらに書かれていますので読んでみてください。
（１）解答・解説
関数が実数解を持つので「判別式D≧0」が条件です。
（２）解答・解説
「関数がa≧0の範囲で変化」⇔「a≧0で少なくとも一つの実数解を持つ」
まずは、関数を二次関数とみて情報を読み取ります。
この二次関数は「下に凸の二次関数」で軸と頂点は・・・
ここで、条件ごとに分けます。
- 「a≧0」で一つだけ実数解を持つ
- 「a≧0」で二つの実数解を持つ
二つの条件について個別に解説します。
「a≧0」で一つだけ実数解を持つ
「a≧0」で一つだけ実数解を持つ条件です。
- f(0)≦0
下に凸の二次関数であることから軸の位置のよらず「x=0」での値が0以下であれば必ず0以上に一つだけ解を持ちます。
「a≧0」で二つの実数解を持つ
「a≧0」で二つの実数解を持つ条件です。
- 軸の位置≧0
- 判別式≧0
- f(0)≧0
(1)と(2）の範囲の図示
(1)と(2）の範囲をグラフに図示します。
赤い斜線部が求める範囲です
