こんにちは。horyです。
二次方程式の「判別式」というものをご存知でしょうか？
二次方程式の「解の個数」を判別するための式ですが、「覚えるのがつらい」・「原理が分からない」という声をよく聞きます。
そんな人のために、今回は「判別式の基礎事項」と「判別式の原理」をまとめました。この記事を読めば、「判別式の暗記」は不要になります。
二次方程式の判別式
まず、二次方程式の判別式について、
いかに二次方程式を考えます。
この二次方程式の解の個数は、判別式を「D」とすると、
のようになります。
判別式の原理
以下では「判別式の原理」について二つのやり方に分けて説明します。
解の公式を用いる
上の二次方程式の「解の公式」は次の通りです。
ここで、√ (根号)の中身に注目することが大切です。
解の公式の√ 内の式の符号で解の個数を分類することが可能です。
二次関数(グラフ) を用いる
二次関数については別の記事でも書きます。
上の式の左辺を「二次関数」と考えます。
以下で上の二次関数をグラフの形に分けて考えます。
必要なら、「文字を含んだ一次不等式の解き方」の記事を読んでおいてください。
下に凸の二次関数 (a>0)
以下は下に凸の二次関数のグラフです。
軸の「y座標」が「正」・「０」・「負」のどれになるか、つまり、グラフが「x軸」といくつの共有点を持つかで分類できそうです。
また、「a>0」より、「-4a<0」で「負」です。「マイナスの値を掛ける・割ると不等式の向きは逆転します」
この説明で理解できなければ、上の表の状況のグラフを実際に書いてみてください
イメージしやすいと思います。
上に凸の二次関数 (a<0)
以下は上に凸の二次関数の図です。
軸の座標は下に凸のときと全く同じですが、「a<0」より、「-4a>0」で「正」です。
つまり、軸の「y座標」についての不等式に「-4a」をかけても不等式の向きは逆転しないです。
まとめ
今日は二次方程式の判別式における基礎知識と原理について簡単にまとめました。
今回のポイントを方法ごとに分けてまとめます。
「判別式まとめ」_(解の公式)
- 解の公式を書き下す
- √ (根号) の中身が「正」・「０」・「負」で分類する
判別式まとめ_(二次関数のグラフ)
- 二次関数の形を意識する
- 軸の「y座標」の符号が「正」・「０」・「負」で分類する
- 不等式の逆転に気を付ける
- 必要ならグラフを書いてイメージする
二つのやり方とも必ず理解しておいてください。ただ、どちらのやり方を用いたとしても最終的には同じ式が導けます。
問題を解くときは二つのやり方のうち好みのやり方を用いてもらって構いません。
それでは、次回の記事でまたお会いしましょう。
