こんにちは。horyです。
前回は極限の難しい問題に挑戦しました。
今回も極限の難しい問題に取り組みます。今回は図形が絡む問題で円がテーマの問題です。
今回も頑張りましょう。
1つの円に無限の円を内接・外接させる
以下はこの記事で取り組む1つの円に無限の円を内接・外接させる極限です。
この問題に取り組みます。非常に難しい問題ですが、図を考えて補助線を引けば意外とすんなり解けます。頑張りましょう。
問題を解く前の下準備 外接
問題を解く前の下準備です。円Cに外接する場合の図を以下に示します。
正直、この図が書ければほぼ勝ったような物ですが、問題は何個の円が外接しているかです。
ところで、直角三角形の角度を定義しましたが、円の個数をxとおけば以下の式が成立するはずです。
よって、2n個の円が配置されています。
問題を解く前の下準備 内接
問題を解く前の下準備です。円Cに内接する場合の図を以下に示します。
内接に関してもこの図が書ければ勝ったようなもんです。何個の円が内接しているかですが、同様に角度に関する式を定義します。円の個数をxとおきます。
よって外接の時と同様に2n個の円が配置されています。
（1）解答・解説
（1）の解答・解説です。
直角三角形による三角関数の定義より以下の公式が成立します。
以上により配置された外接円の半径を求めることができました。
（2）解答・解説
配置された円の半径が「1/n」と分かっているので（1）で求めた式を応用できます。
直角三角形の角度を「θn」と考えます。
外接する円の最大個数がan個なので以下の不等式で2πを挟めます。
ここで、以下のことが使えます。これを思いつくのはちょっと難しいですが、物理とかではよく使う近似なので覚えておきましょう。
この近似は物理の単振動でめちゃくちゃ重要です。角度が0に極限まで近づけば「sin」の値を「θ」に近似しても差し支えないという近似です。
（3）解答・解説
（3）の解答・解説です。
直角三角形による三角関数の定義より以下の公式が成立します。
以上により配置された内接円の半径を求めることができました。
（4）解答・解説
配置された円の半径が「1/n」と分かっているので（1）で求めた式を応用できます。
直角三角形の角度を「θn」と考えます。
内接する円の最大個数がbnなので、以下の不等式で2πを挟めます。
（2）と同様の近似を用います。
（5）解答・解説
（5）の解答・解説です。
（1）と（3）で求めた半径をそのまま用いて良いので・・・
以上により収束します。
