こんにちは。horyです。
前回の記事では「剰余の定理」を用いて余りを求めたりしていました。
「剰余の定理」で「因数定理」というのがあるのを覚えていますでしょうか？
今回は因数(実数解)の見つけ方について簡単にまとめようと思います。
二次方程式の場合
二次方程式の解の見つけ方は以下の通りです。
- たすき掛けの利用
- 二次方程式の解の公式の利用
実際に実演してみます。
二次方程式の場合は上記の二通りのやり方を用いれば因数を必ず求めることができます。
問題は3次・４次方程式です。
高次方程式 因数の見つけ方 (３次以上)
３次以上の方程式における因数(実数解)の見つけ方は主に以下の二通りです。
- 適当に数値を代入して値が0になる
- 係数と約数についての定理
特に、「係数と約数についての定理」を利用する方法は知ってるか知っていないかで大きな差がつくので絶対に頭に入れておいてほしいです。
適当に数値を代入して値が0になる
以下は問題です。
試しに「x=1」を代入してみましょう。
よって、「x=1」は１つの解です。
よって因数定理により・・・
係数と約数についての定理
重要な定理です。必ず理解しておきたいです。
定理の内容は以下の通りです。
上の定理を証明します。
まず、有理数解αを以下のように定義します。
αを(＊)に代入します。
(＊’)について、分数が絡んでいるのが厄介なので、分数の状態を解除してあげます。
(＊’’)を細工して２つの式を導出します。
NとMは互いに素な整数と決めたので、①の等式が成立するには「Mがanの約数」であることが必要です。
NとMは互いに素な整数と決めたので、②の等式が成立するには「Nがa0の約数」であることが必要です。
この定理は高次方程式の因数が見つけにくいときに有理数解を探す手段としてお勧めです。
次はこの方程式を用いた問題です。
問題
以下は「係数と約数についての定理」を応用した問題です。
因数を簡単に見つけることはできなさそうです。
そのため、「係数と約数についての定理」を利用します。
有理数解をαとすると・・・
解の候補が出たので一つ一つ代入します(代入過程は省略します)。
無理数であることの証明
実は、無理数ということを証明する問題でも係数と約数についての定理を利用できます。
背理法を利用します。
上の二次方程式は有理数解を持つと仮定しているので・・・
しかし、解の候補のうちどれを代入しても方程式を満たさないので有理数解を持つと仮定したこと自体が誤りとなります。
よって背理法により無理数であることが証明されました。
