順列・組合わせ_押さえるべきポイント

こんにちは。horyです。

数学の「場合の数」の「順列」・「組合わせ」について、「考えるべきポイント」や「押さえるべきポイント」が分からないという声をよく聞きます。

今回は「順列」・「組合わせ」で「考えるべきポイント」や「押さえるべきポイント」を簡単にまとめました。

場合の数の考え方

まず、大前提として、「場合の数」では同じ物だったとしても区別しません。

例えば、赤い球が5個あったとしても全て区別しないで扱います。

事象A,Bが独立である(同時に起こらない)とします。

と考えると、AまたはBのどちらかが起こる場合の数は a+b通りです。

以下は例です。

以上、和の法則より、目の和が4の倍数になる場合の数は9通りです。

事象Aの起こり方がa通りで、このa通りのそれぞれについて、事象Bの起こり方がb通りずつあるとき、AとBがともに起こる場合の数は ab通りです。

これを積の法則といいます。

以下は例です。

「N人全員を一列に“並べる”」並べ方の総数はN！と表します。

また、定義として、0！=1 と約束します。

7人のうち、5人を一列に並べるときの並べ方を考えます。

正確には、「7人の内、5人を “選んで”・”並べる”」ときの並べ方を考えます。

以上から、「N人のうちn人を“選んで”一列に“並べる”」場合の数は以下のように表せます。

このように表現できることから、「N人を一列に並べる」場合の数から「N-n人を一列に並べる」場合の数を除外しているという見方もできます。

また、定義として、以下の二点を約束します。

６人から３人を“選ぶ”ときの選び方の総数を考えます。

順列は「選んで・並べる」ですが、組合わせは「選ぶ」だけです。

つまり、「選んで・並べる」場合の数から「並べる」ことを省く必要があります。

本問であれば「6人の内から3人を選んで・並べる」操作から「3人並べる」操作を省きます。

以上の事から、

N人からn人を選ぶ選び方は以下のように表せます。

特に、上の式の最右辺のように表せることは非常に重要なので頭に入れておきましょう。

以下に、「場合の数」の問題に取り組むとき、意識すべきポイントをまとめました。

今回は「順列」・「組合わせ」で「考えるべきポイント」や「押さえるべきポイント」を簡単にまとめました。

今回のポイントは以下の通りです。

場合の数の考え方
「順列」・「組合わせ」の数え方を理解できたのではないでしょうか？

それでは、次回の記事でまたお会いしましょう。