こんにちは。horyです。
前回の記事では隣接する二項間の漸化式の解き方とそれらの派生型の問題を攻略しました。
今回の記事では隣接三項間漸化式の解き方を説明するとともに、特性方程式で何故、二次方程式が出てくるのかを解説しようと思います。
それでは今回も頑張りましょう。
隣接三項間漸化式とは・・・
まず、隣接三項間の漸化式とは以下のように表せる漸化式のことです。
上のような漸化式の一般項を求めてみようと思います。
隣接三項間漸化式の特性方程式
隣接三項間漸化式の特性方程式を導出します。いつものことですが、我々は等比数列の形にしたいと考えているので①の漸化式が以下のような形に表せるとします。
上の形になると仮定して、そのような何らかの数値αとβが存在すればこの漸化式の一般項を求めることが可能です。
①から②を引き算します。
だから、隣接三項間の漸化式では二次方程式が特性方程式となるのです。
それでは、問題を解いてみましょう。
隣接三項間の漸化式 問題
以下は隣接三項間の漸化式に関する問題です。
この問題を例に解説します。
（１）解答・解説
（１）の解答・解説です。
まずは、特性方程式を解きます。
①から②を引けば数列の一般項を求めることができます。
以上により求めることができました。
（２）解答・解説
（２）の解答・解説です。
まずは、特性方程式を解きます。
重解になりますが、等比数列の型にあてはめてみます。
これは前回の記事でも示した等比型の隣接二項間漸化式になります。
以上により一般項を求めることができました。
（３）解答・解説
（３）の解答・解説です。
掛け算の形になっているのでそれを解消することから始めます。両辺に対数をとります。
対数の底は何でもいいですが、今回は簡単のため底が2の対数をとります。
以上から、特性方程式を解いてみます。
あとは自習です。ちょっと解いてみてください。
答えは以下の通りです。
補充問題
以下の漸化式の一般項を求めてみてください。
実はこの数列はフィボナッチ数列という有名な数列です。よかったらネットとかで検索してみてください。
