こんにちは。horyです。
今回の記事では階差数列の本質的な意味について簡単に説明しようと思います。
階差数列ではΣ記号が出てきます。Σ記号についてはこちらの記事に書かれていますので読んでおいてください。
それでは、今回も頑張りましょう。
階差数列とは・・・
まずは、階差数列についてです。
数列の一般項を直接的に求めれないときの対処法は基本的に２つあります。
- 隣接する項の差を取る(階差を取る)
- 数列の一般項を推測→正しいことの証明(帰納法)
今回は階差をとって数列を求める方法を説明します。
階差数列が以下のような数列になれば元の数列が求められます。
- 等差数列
- 等比数列
- 等差と等比の入り交じった数列
これらの記事についてはこちらに書かれています。
階差数列bnから元の数列anをどうやって求めるかについて以下に説明します。
上の式の辺々を足し上げます(左辺については赤い部分が全て消えます)。
上の式はnの値が2以上の自然数までなら成り立つことを補償してくれますが、n=1の時を補償してくれるわけではありません。仮に、n=1を代入すると・・・
だから、階差数列において、n=1というのは別で調べないといけないのです。
そして、もしも、n=1の時に成立しなかったら以下のようにしないといけないです。
- 「n=1」のとき「a1=・・・」
- 「n≠1」のとき「an=・・・」
まぁ、問題で実戦してみましょう。
問題 階差数列
以下はこの記事で取り組む問題です。
これらの問題を例に解説します。
（１）解答・解説
数列とその階差数列を以下のように定義します。
階差数列が等比数列になりました。以上から数列を以下のように求めれます。
（2）解答・解説
数列とその階差数列を以下のように定義します。
階差数列が等差数列になりました。以上から数列を以下のように求めれます。
（3）解答・解説
数列とその階差数列を以下のように定義します。ただ、この数列は階差数列をとっても駄目なので、階差数列の階差数列を取ります。
階差数列の階差数列が等差数列になったので、階差数列を求めます。
階差数列を求めることができたので、元の数列を求めます。
