こんにちは。horyです。
今回の記事の内容はかなり重要になります。関数の発散性や収束性に関する記事です。
変数を無限に飛ばしても関数の違いで無限に発散するスピードは違います。
今回の記事ではそのことを証明する問題に取り組みます。
今回も頑張りましょう。
関数の発散性に関する問題
以下はこの記事で取り組む問題になります。
この問題を例に解説します。
できなくても構いませんが、重要問題なので頭には入れておきましょう。
（１）解答・解説
（１）の解答・解説です。数学的帰納法を用いて証明します。
数学的帰納法に関する記事はこちらです。
ここで、ちょっとしたテクニックです。f(x)をxで一回微分します。
Σの微分はΣのまま微分せずに、Σの意味を考えて、和の形をとって微分した方がミスは減ると思います。
微分した導関数が常に正のため関数f(x)は増加関数です。
以上から数学的帰納法により成立しました。
（２）解答・解説
（２）の事前準備です。（１）の不等式で「n=2」の時を考えます。
同様の手法を繰り返せば、題意の式を証明できます。
（３）解答・解説
（３）の解答・解説です。ちょっとしたテクニックが必要です。
（２）で示したことを利用します。
関数の発散性
証明したことで何が言えるかですが、関数の変数を無限大に飛ばしたときの関数の発散性能の違いが分かります。
分かりやすく例えると・・・
- 対数関数・・・原付バイク
- 多項式関数・・・一般車
- 指数関数・・・高性能車
- x^x・・・スポーツカー
このことは覚えておくと得します。
（１）の不等式の深堀
（１）で示した不等式がめちゃくちゃ大事です。
マクローリン展開という分野にも関わってくるので覚えておいてください。
