こんにちは。horyです。
前回の記事では数列の極限や無限級数の極限について簡単にまとめました。
今回は関数の極限について簡単にまとめると共に、片側極限から関数の連続性について簡単に解説します。関数の連続性は後の微分を正しく理解するためにも絶対に抑えなければならないので頑張ってください。
関数の極限
関数f(x)について、xがaに限りなく近づくとします(aになるとは言ってない)。
上記のように説明できますが、上の説明の仕方は正確であるとは言えません。
片側極限について
不十分な理由を説明する前に片側極限について簡単にまとめます。
- 関数を「x>a」の範囲からaに近づけたとき・・・
- 関数を「x<a」の範囲からaに近づけたとき・・・
の２つの場合が考えられるからです。
つまり、関数によっては右側極限と左側極限で値が異なる場合があります。左右の極限で値が異なるときは「その点」において関数が極限値を持つとは言えません。
だから・・・
関数の連続性
関数が点aで連続とは(表現が正しいか分かりませんが)「関数がx=aで途切れておらず、繋がっている」と言うことです。
つまり・・・
- 関数のx=aにおける左右の極限が一致⇔関数は「x=a」で連続
- 関数のx=aにおける左右の極限が不一致⇔関数は「x=a」で不連続
以上のことを式で表してみると・・・
上のように数式で定義されると難しく感じてしまいがちですが、言っていることはとても簡単です。要は「関数がある点において途切れているか・繋がっているか」を調べているだけです。
例えば、「y=x」のような関数は全ての実数で連続であると言えます。何故なら、「直線が途中で途切れることはないからです。」一方で、「階段関数」のような関数は連続でない点も存在します。
関数の極限の性質
関数の極限の性質についてですが、数列と同じように定義することができます。
つまり、数列の極限と同様、関数の極限においても複数の関数があるとき、各部分が収束できると確認するまでバラバラにすることはできないです。
以下に示す２つの関数は全ての実数で連続とします(基本的に、問題で「連続であるか？」のような文言が出てこない限り出てくる関数は全ての実数で連続であると考えていいです)。
