こんにちは。horyです。
前回の記事で微分の本質と目的について簡単に説明すると共に関数の連続性に関して話したと思います。
今回は関数が連続であるための条件を求める問題に関して簡単に紹介します。
今回も頑張りましょう。
問題 その1 連続とはどういうことか？
以下はこの記事で取り組む問題です。
この２問を例に解説します。
関数の連続性に関する記事はこちらです。以下の記事でも同様のことを言っていますが、復習のためこちらにも書いておきます。
（１）解答・解説
（１）の解答・解説です。
まず、関数が「x=a」で連続とは、「関数がx=aで途切れていない」ことです。つまり、「x=a」における「左右の極限が一致すること」です。これを式で説明すれば良いです。
上のことが書けていれば良いです。
（２）解答・解説
（２）の解答・解説です。
関数が「x=a」で不連続とは、「関数がx=aで途切れている」ことです。つまり、「x=a」における「左右の極限が一致しないこと」です。これを式で説明すれば良いです。
上のように書けていれば良いです。
また、そのような関数の具体例としてガウス関数があります。
ガウス関数において、「x=1」は不連続な点です。理由を以下に示します。
以上から左右の極限が一致しないので連続ではない。
問題その２ 関数が連続である条件
以下は関数が連続である条件を求める問題です。
この問題を例に解説します。
重要なのはxの値によって場合分けが必要なことです。頑張りましょう。
問題その２ 解答・解説
また、この問題では不定形への対処法を習得していないと解けません。不定形への対処法に関する記事はこちらです。
このとき、式は「∞/∞」の不定形になるので、分母の最大の量で分母・分子を割り算します。
つまり、この関数はxを無限大に飛ばすと「y=x」に漸近する（徐々に近づく）と言えます。
余談ですが、微分でグラフを描くとき、理系なら漸近線というモノを考えないと行けません。分数関数について、「xを無限大に飛ばしたとき、どんな関数に近づくか」というモノですが、上のように「割り算→無限大に」が非常に有効です。漸近線については別の記事でも書きます。
ここで、一旦、整理します。
この関数が全ての実数で連続になるためには「x=1」と「x=-1」での関数の左右の極限が一致する必要があります。
以上から「a=1」・「b=-1」です。ここで終わってはいけません。求めた値を代入して本当にそうなっているか確かめてください。
以上から全ての実数で連続ということが示されました。
