こんにちは。horyです。
前回の記事では部分積分の原理を理解するとともに、簡単な計算問題に取り組みました。
今回の記事では、部分積分において「n乗(nは自然数)」が関係する積分は数列と密接に関係があります。今回はこれに関する問題に取り組みます。解き方を知らないと解けない問題もあります。
今回も頑張りましょう。
多項式関数のn乗
以下に示すのは多項式関数のn乗が絡む部分積分の問題です。
この問題を例に解説します。多項式関数はそこまで難しくないです。
（１）解答・解説
まずは、In+1を考えます。ネイピア数の原始関数を考えて部分積分を行います。
以上が解答です。そこまで難しくないですよね。
（２）解答・解説
この問題では部分積分は使いません。ただ、ちょっとテクニックもあります。
上の式の赤い部分のように変形できるかどうかがカギになります。
（３）解答・解説
三角関数と多項式関数です。三角関数側の原始関数を考えて部分積分を行います。
以上が解答です。部分積分を二回使う問題でした。
三角関数のn乗
この問題ができるかできないかで差がつきます。ウォリスの積分公式と呼ばれる積分です。
この問題を例に解説します。非常にいい問題です。
（１）・（２）解答・解説
上には（１）の解答を示しています。実は、（１）も（２）も同じ結果になります。手法自体は同じなので（２）については自分でやってみてください。
（３）解答・解説
（３）の解答・解説です。（１）や（２）とは少し違います。
ここでtanの微分と置き換え積分を利用します。
