こんにちは。Horyです。
今回は高校数学Ⅱでやることになる連立方程式の問題に取り組もうと思います。
具体的には以下の問題に取り組みます。
- 連立方程式の同値生に関する問題
- 連立方程式が共通解を持つ条件
- 係数が虚数の時の対処法
早速ですが、問題に取り組んでいきます。
問題 連立方程式の同値性
以下は連立方程式の同値性に関する問題です
命題の真偽の判定問題です。
必要条件や十分条件の記事はこちらです。
解答・解説
文字が２つあるので全体集合は「座標平面」です。
直線の交点を考えます。
以下に図を示します。
- 狭い領域から広い領域・・・真
- 広い領域から狭い領域・・・偽
よってこの命題は真です。
この問題で私が言いたいことは連立方程式で式が減るときには気をつけろということです。
問題 共通解を持つ条件
連立方程式で共通解を持つときの条件です。
この問題を解きます。
まずやるべきことは、二乗が邪魔なので引き算により二乗を消去し一次化します。
解答・解説
- a=b⇔①＝②となり確かに共通解を持つ
- x=1⇔「1+a+b=0」で「x=1」を共通解として持つ
以上より・・・
問題 係数が虚数の方程式が実数解を持つ条件
係数が虚数の方程式が実数解を持つ条件を求める問題です。
まず、注意しなければならないこととして、係数が虚数の場合、判別式を使うことはできません。
虚数の注意点をちょっとまとめます。
- 係数が虚数→判別式は使えない
- 虚数と実数では大小の比較はできない
この２つは頭に入れとくと良いです。
解答・解説
この手の問題は実部と虚部を分けて恒等式をときます。
実数解を持つので・・・「xを実数」として考えます。
この問題は上の連立方程式が共通解を持つa,bの条件を考える問題と置き換えることが可能です。
先ほどの問題と全く同じ解答になりますので後は自分でやってみてください。
