こんにちは。horyです。
前回の記事で直線や円周の通過範囲を求める問題に取り組みました。
今回は通過範囲の問題について「二次方程式の解と係数の関係」を用いて解く問題を紹介します。
二次方程式の解と係数の記事についてはこちらに書かれているので読んでおいてください。
通過範囲の問題 二次方程式の解と係数の関係
以下は今回の記事で取り組む問題です。
この問題を例に解説します。
問題を解く前の下準備
問題を解く前の下準備です。
まず、p,qの範囲を図示します。以下の正方形の内部です(軸を含まない)。
ここで、点Bのx座標とy座標が二文字の基本対称式になっているので二次方程式の解と係数の関係が使えることが分かります。
ここで、条件の言い換えを用います。
「通過範囲を求める」→「pとqは二次方程式(*)の実数解」
よって、「二次方程式が実数解を持つ条件を求める」という問題に言い換えることができます。
問題 解答・解説
問題の解答・解説をします。
pとqが一辺の長さ1の正方形の内部を動くので、考える二次方程式も「-1<t<1」の範囲に二つの実数解を持つ必要があります。
よって条件は以下のようにまとめることができます。
- 判別式D≧0
- -1<軸<1
- f(0)>0
- f(1)>0
上の条件をまとめていきます。
以上を「u-v平面」にまとめることができれば勝利です(赤い斜線部)。
前回の問題では自分で二次方程式を作る必要はありませんでした。
今回の問題では何気ない部分から「二次方程式の解と係数の関係」を見つけて自分で二次方程式を作り実数解の存在条件を求める問題でした。
