こんにちは。horyです。
前回までの記事で様々な特殊な微分法に関して学びました。
今回の記事では逆関数とは何かを簡単に解説すると共に、三角関数の逆関数をどのように微分するかを簡単にまとめようと思います。
今回も頑張りましょう。
逆関数とは・・・
まず、逆関数とは「関数y=f(x)」について、xとyの立場を入れ替えたものです。
上のことを定義したとき、「x=g(y)はy=f(x)の逆関数」と言います。
逆関数の求め方の手順は以下の通りです。
- y=f(x)をxについて解いてx=g(y)の形に
- xとyの役割を逆転してy=g(x)の形に
- 逆関数の定義域は元の関数の値域
- 逆関数の値域は元の関数の定義域
また、逆関数の性質は以下の通りです。
- もとの関数とその逆関数は「y=x」について対称である
- 増加関数・減少関数については必ず逆関数が存在(指数⇔対数)
- 逆関数が必ずしも存在するとは限らない
逆関数が必ずしも存在するとは限らない例を以下に示します。
「±で2つの値」が存在するため元の関数の「yの値」を決めても「xの値」が1つに定まらないので逆関数は存在しません。
これを踏まえて三角関数の逆関数を微分します。
三角関数の逆関数の微分
以下はこの記事で取り組む問題です。
この問題を例に解説します。
まぁ、大体の人はやり方が分からなくて手が止まります。やり方は2つあります。
- 逆関数の微分
- 陰関数の微分
それぞれのやり方で個別に解説します。
逆関数の微分による導出
まず、逆関数の微分がどのように表されるかですが・・・
上の式の青い部分が求めたいモノです。逆関数の微分は緑の公式で表せます。
これを踏まえて問題を解きます。
以上により求めることができました。
陰関数の微分による導出
陰関数の微分による導出です。僕はこっちのやり方が好きです。
上の式の両辺をxについて微分します。
右辺の微分方法は陰関数の微分の記事を読んでください。何度も言いますが、この微分法は物理でも重宝するので必ず理解してください。
以上により求めることができました。
補充問題
以下に示すのは補充問題です。自分でやってみてください。
頑張ってください。
