複素数平面 複素数が同一円周上にある条件

こんにちは。Horyです。

前回は方程式を極形式で表して複素数平面上に図示する問題や条件式から図形の形状を求める問題に取り組みました。

今回は複素数が同一円周上にある条件を求める問題に取り組みます。

この問題も非常に有名な問題なので方法を覚えてしまってもいいかもしれません。

３つの複素数が同一直線上の条件

こちらに示す問題は異なる3つの複素数が同一直線状の条件を求める問題です。

この問題を例に取り組みます。

まぁ、偏角を使うのが楽ではありますよね。

３種類の複素数が同一直線上にある条件についてです。

以上が３種類の複素数が同一直線状にあるための条件です。

こちらに示す問題は異なる４つの複素数が同一円周状の条件を求める問題です。

この問題を例に取り組みます。

ただし、意外な落とし穴があるので注意です。

例えばですが、中学の知識で、四角形ABCDとあれば、四点ABCDがこの順に時計回り、もしくは、反時計回りに並んで四角形をなしています。

一方でこの問題は異なる四点としか書いてありません。そのため、点の並び方で場合分けが必要です。

この二つの場合に分けて考えてみます。また、円周角の定理を使って偏角が等しいことを利用できそうです。

AとBが隣り合っている状況を考えます。以下に図を示します。

円周角の定理から偏角について以下の公式が成立します。

AとBが隣り合っていない状況を考えます。以下に図を示します。

円に内接する四角形の対角の和が180°になることを利用します。

以上が条件になります。