複素数平面に関する基礎知識まとめ

こんにちは。Horyです。

今回の記事では数学Cの複素数平面に関する基礎知識について、数Ⅱで学んだ複素数の知識を振り返りつつ、簡単にまとめようと思います。

今回も頑張りましょう。

複素数の性質について

数学Ⅱの記事にもまとめましたが、改めて、複素数の性質を振り返りましょう。

複素数とは以下の性質をもつ数のことです。

上のことは複素数の基礎的な内容です。

以下に示すのは複素数の基本的な性質です。登場する複素数をzとwと考えます。

上に示すのは複素数とその共役な複素数の四則演算に関する性質です。

一方で、以下に示すのは複素数の実数や純虚数に関する性質です。

これらの複素数の性質の証明は「z=a+bi」「w=c+di」として当てはめれば良いだけです。

証明については非常に簡単ですので自分でやってみてください。

私たちは座標平面において、任意の座標を(x,y)のように表します。これに対して複素数平面では「z=x+yi」のように表すことです。

要するに複素数平面とは・・・

のように考えることです。

分かりやすいように図式化します。a,bを任意の実数として「z=a+bi」を複素数平面に図示します。

絶対値と偏角について話します。先ほどの図において、「z=a+bi」が表す点を点Aとします。

注意点ですが、原点Oについて偏角を定義することはできません。そのため、「arg z」が定義できるとき、「z≠0」というのが自動的に約束されます。

また、「z≠0」で「偏角；arg z」について、以下のことが成立します。

以下に例を示します。

実数における絶対値の性質と同様に複素数にも絶対値に関する性質があります。以下にそれらをまとめます。

この中で、⑥についてのみ証明を行います。

三角不等式と呼ばれる有名不等式の１つです。これについては触れなかったので証明します。以下に図を示します。

上の記事のように２つのベクトルの和(平行四辺形の対角線)を考えます。以下のことが成立します。

等号成立は以下の条件です。