こんにちは。Horyです。
前回の記事では複素数平面において、線分を図示する問題に取り組み、ベクトルと極形式の使い道について説明しました。
今回の記事では、複素数平面において、与えられた関係式を用いてどんな図形を描くかを考える基本問題について説明します。
今回も頑張りましょう。
問題1 複素数が実数・純虚数のときに描く図形
以下に示すのは与えられた複素数が実数の時や純虚数の時に描く図形を求める問題です。
この問題を例に取り組みます。
問題を解く前の前提について
まずは、問題を解く前の前提についてです。
上の内容は以下の記事でも話したことです。
問題ではwが0でない実数であるとしているので・・・
これを前提条件とします。
実数であるときの条件
wが実数であるときの条件を考えてみます。
条件が出ました。
①～③が示す範囲はwが実数の時のzの範囲です。
- ①・・・zは実軸または、虚軸上にある
- ②・・・zは原点中心の半径1の円
- ③・・・zは±1, ±iの点を除く
純虚数であるときの条件
wが純虚数の時の条件を求めてみます。
条件が出ました。
①～③が示す範囲はwが純虚数の時のzの範囲です。
- ①・・・zは「y=±x」上を動く
- ②・・・zは原点中心の半径1の円
- ③・・・zは±1, ±iの点を除く
共通部分の条件を図示する
共通部分の条件を図示します。
- 青い部分は実数の時の条件
- 赤い部分は純虚数の時の条件
従って、共通部分は原点が中心の半径1の円から±1, ±iの4点を除いた図形です。
問題2 複素数と角度
次に示すのは複素数と角度(偏角)についての問題です。偏角についてはこちらの記事にも書かれています。
この問題を例に取り組みます。
（１）解答・解説
（１）の解答・解説です。前回の記事でも説明した偏角argを利用します。
よって、argが純虚数のために、∠OABのなす角度は小さい方が90°です。
（２）解答・解説
（２）の解答・解説です。Zが原点中心の半径1の円を動きます。この条件式を最大限に利用します。
よって、wは原点中心の半径√2の円になります。
