こんにちは。horyです。
皆さんは二乗して負の数になる数をご存じでしょうか？
このような数を虚数と言いますが、今回は数Ⅱの範囲で虚数と複素数の性質ついて簡単にまとめると共に、高次方程式との関係を簡単に紹介します。
虚数とは
最初に虚数について簡単に説明します。
例えば、以下の方程式を考えます。
このように虚数を定義しました。
このことを応用すると・・・
複素数とは・・・
虚数単位について・・・
を満たすと考えます。
複素数とは簡単に説明すると実数と虚数が入り交じった数のことです。複素数をzと考えると以下の式で表せます。
複素数の性質
複素数の性質を簡単に解説します。
複素数は実部と虚部で分かれます。
また、複素数zについて共役な複素数というのも存在し、共役な複素数は以下のように表せます。複素数と共役な複素数の性質は覚えておいたほうが良いです。
虚数についての問題
以下は虚数についての簡単な問題です。
この問題を例に解説します。
問題を解く前の下準備
問題を解く前の下準備です。
ここで、ωは実数ではなく虚数なので以下の式を満たします。
上の式が出るので、以下の3式が成立します。
解答・解説
問題の解答・解説を行います。
下準備の式③よりkを0以上の整数として・・・
よって、nがどんな数になるかで場合分けできます。
以上が解答です。
複素数と共役な複素数 高次方程式
複素数と共役な複素数は方程式でも結構大事になってきます。
以下は問題です。証明問題ですが、証明方法を覚えてしまった方が良いです。
やり方を覚えないと結構きついですが、重要問題です。
解答・解説
多項式と虚数を以下のように定義します。
①の左辺と右辺にバーをつけて共役化します。
よって、共役な複素数も解になります。
実数解に関する定理の証明問題
先ほどの複素数と共役な複素数に関する証明問題に似た証明問題を紹介します。
こちらも、証明方法を覚えてしまった方が良いです。
まぁ、解の公式とかで二次方程式を解くと分かりますが、成り立っているような気はします。これを証明する問題です。
解答・解説
①を変形して有理数と無理数を分離後、二乗して無理数を消去します。
有理数係数の多項式g(x)を以下のように定義します。
整式の割り算を考えます。
最初の前提条件でf(α)=0と定義したので・・・
つまり、f(x)をg(x)で割ったときの余りが0になるので・・・
よって、x=α’も解になります。
