こんにちは。Horyです。
これまでに難しい立体図形の体積を求める問題に取り組みました。
今回の記事では複数の不等式で囲まれる立体図形の体積を求める問題に取り組みます。
今回も頑張りましょう。前回よりは簡単な問題になるので気楽にやってください。
複数の不等式で囲まれた立体図形の体積
以下に示すのは複数の不等式で囲まれた立体図形の体積を求める問題です。
この問題を例に取り組みます。
複数の不等式が作る立体のポイント
以下に複数の不等式が作る立体の体積導出の際のポイントを簡単にまとめます。
基本的に立体で積分を使う問題は「切り口⇒断面積⇒積分で体積」という手法は変わりませんが、この問題のように不等式が大量に出てくるのであれb切り口をどうとるかが非常に大切です。
以下に図を示します。
ここで、切り口をどの軸でとるかについてですが、切り口が簡単になるものでとることをお勧めします。つまり、次数が高いもので切る方がいいです。
問題 解答・解説
問題の解答・解説です。
不等式の中でxとzは一次式ですが、yのみが二次式です。そのため、次数が高いy軸で切ります。「y=t」で切った時の切り口を考えます。
このDtが切り口の断面積です。
切り口の断面積をx-z平面で確認してみましょう。
上の図の緑の斜線部が断面積になります。断面積は台形なので容易に求めることができます。求めた断面積を「y=t=0から1の範囲」で積分すればいいです。
