こんにちは。horyです。
今回の記事では線分が直線と共有点を持つ条件と最短距離を求める問題について簡単にまとめました。
よく出る問題なので是非頭に入れて理解していただきたいです。
それでは今回も頑張りましょう。
問題 線分が直線と共有点を持つ条件
線分が直線と共有点を持つ条件を求める問題を以下に示します。
この問題を例に解説します。
問題を解く前の下準備
まず、いきなり問題からだとイメージが掴みにくいので単純化します。
座標平面に任意の２点AとBがあるとして線分ABがx軸と共有点を持つ条件を考えてみましょう。
図に書くと以下のようになります。
図より、点AかBの一方が「y>0」の領域で他方が「y<0」の領域にあれば共有点を持つと言えます。これを応用します。
直線の方程式をy=f(x)とおきます。
点AかBの一方が「f(x)の上側」の領域で他方が「f(x)の下側」の領域にあれば共有点をもつといえます。
解答・解説
問題の解答・解説です。
まずは直線の方程式をy=の形に変形します。
これ以外に3つ目の条件がありますが、後で話します。３つめの条件を忘れる人が非常に多いので注意してください。
共通部分がないので①は起こりえないです。
３つめの条件ですが、線分ABが直線上の点であるという場合です。
以上よりmが一致しないので直線上の点と言うことはないです。
両端を除くという条件があるので、片方だけが直線上というのは含めないです。
問題 最短距離を求める
続いて最短距離を求める問題を紹介します。
この問題を例に解説します。
- （１）Aは直線の上側・Bは直線の下側
- （２）AもBも直線の上側
（１）解答・解説
状況を図示します。
図を見ても分かると思いますが、線分ABと直線y=xの共有点が最短距離のPです。
ABの方程式を求めます。二点の情報が分かっているので・・・
（２）解答・解説
状況を図示します。
AかBのどちらかの点について直線に対して対称な点を取ります。
今回はAに対して対称な点のA’を取ります。
これで(1)と同じ状況です。問題は対称点A’の座標をどうやって求めるかですが・・・
線分AA‘と直線との交点をHとすると・・・
- Hは線分AA’の中点で直線上
- 線分AA’と直線は垂直に交わる
上の２つのことを利用して対称点の座標を求めます。
このとき、点と直線の距離の公式は使わないでください。求めれません。
直線の傾きと中点を利用してください。
まずは、A’の座標を設定します。
線分A’Bと直線y=xとの交点を求めれば良いです。
