こんにちは。Horyです。
積分計算に関する記事もこの記事で最後になります。
今回の記事では絶対値を含む積分計算の攻略を中心に話を進めたいと思います。
今回の記事では数Ⅱの内容だけで解ける問題と数Ⅲの知識を使う問題の二部に分かれます。
今回も頑張りましょう。
絶対値を含んだ積分のポイント
以下に絶対値を含んだ積分のポイントをまとめます。
主に以下に示す３つの場合に場合分けができます。
- 積分範囲内で絶対値内が常に正である。
- 積分範囲内で絶対値内が符号変化する。
- 積分範囲内で絶対値内が常に負である。
この３つのポイントを意識してください。特に文字が絡むときには図を描いて考えるとミスは確実に減ります。問題に移ります。
数Ⅱの知識だけで解ける絶対値を含む積分計算
以下に示すのは数Ⅱの知識だけで解ける絶対値を含む積分計算の問題です。
この問題を例に解説します。
問題を解く前の下準備
まずは問題を解く前の下準備です。図を描いてみましょう。
ここまで出来たら準備は完了です。
（１）解答・解説
（１）の解答・解説です。「y=a」が先ほどのグラフのどの領域にあるかで場合分けを行います。
- 赤い領域にある・・・範囲内で絶対値内が常に正である
- 緑の領域にある・・・範囲内で絶対値内が符号変化
- 青の領域にある・・・範囲内で絶対値には常に負である
赤い領域にある
赤い領域にあるときは絶対値内は常に正なのでそのまま外せます。
緑の領域にある
緑の領域にあるときは絶対値内で符号変化します。
青い領域にある
青い領域にあるときは絶対値内が常に負です。
（２）解答・解説
（２）の解答・解説です。aの値によってグラフが変わるのが注意です。
増減表を示します。
以下にグラフを示します。
数Ⅲの知識を用いる絶対値を含む積分計算
以下に示すのは数Ⅲの知識を用いる絶対値を含む積分計算の問題です。
この問題を例に解説します。（２）については積分する文字がtであることに注意してください。
（１）解答・解説
（１）の解答・解説です。積分範囲内で絶対値内の関数がどうなっているかを考えます。ひとまず、三角関数の合成を用いてsinで統一しましょう。
（２）解答・解説
（２）の解答・解説です。まずは、図を描きましょう。
- 赤い領域にある・・・範囲内で絶対値内が常に正である
- 緑の領域にある・・・範囲内で絶対値内が符号変化
- 青の領域にある・・・範囲内で絶対値には常に負である
赤い領域にある
赤い領域にxがいるときは絶対値内は常に正です。
緑の領域にある
緑の領域にあるときは絶対値内で符号変化が起こります。
青の領域にある
青の領域にあるときは絶対値内は常に負です。
