こんにちは。horyです。
数学Ⅱの分野で等式の証明というのが出てきます。
今回の記事では等式の証明方法のノウハウを簡単にまとめると共に問題で実践していこうと思います。
等式の証明方法
等式の証明方法のメソッドを簡単にまとめます。
例えば、「A=B」が成立することを証明する問題があるとします。
証明方法は主に4つです。
- ① 一方を変形して他方になることを示す (Aを変形→Bになる)
- ② 両辺を変形して等しくなるのを示す(A=C, B=C⇔A=B)
- ③ 両辺の差が0になることを示す(A-B=0)
- ④ 数学的帰納法 (自然数とかが絡んでいる)
①～④をカテゴリーに分けます。
- ①～③・・・直接的証明法
- ④・・・間接的証明法
④は直接証明が難しいときに用いる間接照明法です。数学Bの内容なので触れません。
今回は直接的証明法である①～③についてまとめようと思います。
条件付き等式 条件式の利用法
等式の証明において、条件式が付属している場合の条件の利用法を簡単にまとめます。
例えば、3文字のx,y,zの等式を証明するとき、以下の条件式が付属しているとします。
条件式の利用法は以下の通りです。
- 文字を減らす (z=-(x+y)⇔3文字→2文字)
- 条件式=0を等式に出現させる ((x+y+z)×(何か)=0)
主にこの２つの方法を用いることで自分の有利な形に変形させて等式を証明します。
等式の証明問題
以下は今回の記事で取り組む等式の証明問題です。
この問題を例に解説します。
解答方法が3つほどあるので個別に紹介します(他の方法もありますが今回は3つ紹介します)。
解答方法1
解答方法1の手順を以下に示します。
- 条件式で3文字から2文字に
- 両辺を変形して同じ物になるのを示す
よって、同じ式になるので等式は成立します。
解答方法2
解答方法2の手順を以下に示します。
- 条件式で3文字から1文字に
- 右辺と等しいことを示す
よって、等式は成立します。
解答方法3
解答方法3の手順を以下に示します。
- 左辺から右辺の引き算を実行
- 条件式=0を登場させる
- 引き算が0になることで等式を証明
この方法は少々因数分解のテクニックがいります。
この因数分解は覚える価値はあるかもしれません。
