空間ベクトル直線と平面の交点に関する問題

こんにちは。horyです。

今回の記事も空間ベクトルに関する問題です。前回の記事では重心の位置ベクトルに関する問題に取り組みました。

今回の記事は直線と平面の交点に関する問題です。

今回も頑張りましょう。

問題直線と平面の交点

以下はこの記事で取り組む直線と平面の交点に関する問題です。

この問題を例に解説します。

まずは、問題を解く前の下準備です。状況を図示します。

辺の内分からベクトルは以下のように表せます。

以上で下準備は完了です。

この問題のポイントは２つです。

②からベクトルOGがベクトルOAとOCのみで表せるので、③におけるベクトルbの係数は0にならないとおかしいです。

⑦を②に代入します。

また、③と⑤は同じベクトルで１次独立であるので係数比較が可能です。

⑧と⑥’によりβとγの連立方程式ができたのでβとγは求めれます。

ここで、余談ですが、Gは平面DEF上にもあるし、辺AC上にもあることから平面OAC上にもあると言えます。また、平面ABC上にあると見ることもできます。

つまり、３平面の交点がGであると言えます。

（２）の解答・解説です。

まずは、以下の３つの条件を有効に活用します。

②と③が同じベクトルを表し、１次独立であることから係数比較ができます。

ここで、係数の和が1であることを利用してtを求めます。

以上で求めることができました。

複雑かつ難しい問題かもしれませんが、ベクトルは計算過程を複雑にしてミスを誘う問題が非常に多いです。裏を返せば、計算を完璧にできればミスを少なくできる分野でもあるので頑張りましょう。