こんにちは。horyです。
今回も空間ベクトルに関する問題です。今回の記事では四面体において平面に下ろした垂線に関する問題を簡単に解説します。
今回の問題もけっこう難しいかもですが、頑張りましょう。
問題 平面に下ろした垂線
以下はこの記事で取り組む平面に垂線を下ろす問題です。
この問題を例に解説します。
問題を解く前の下準備
まずは、問題を解く前の下準備です。
状況を図示するかどうかはどっちでも良いです(イメージしにくいなら図形を書いても良いかもしれません)。
原点をOとすると座標そのものが位置ベクトルになります。
以上で下準備は完了です。
（１）解答・解説
（１）の解答・解説です。余弦定理を用います。余弦定理についてはこちらの記事をご確認ください。
以上から三角形ABCの面積を求めることができます。
以上の面積公式の導出方法はこちらの記事をご確認ください。
余談ですが、上の三角形の面積公式はベクトルで表すこともできます。三角形OABの面積を求めるとします。
以上により内積の公式を用いて三角形の面積公式を求めることができました。
ただし、この公式は空間で用いることができないという欠点があるのでそこは注意が必要です(平面では問題なく使えます)。
（２）解答・解説
（２）の解答・解説です。この問題ですが、垂線の足とあることから垂直条件からの内積が０であることを最大限利用できます。
上のようにやってしまいがちですが、計算ミスを生みやすいです。そのため、私であればベクトルDBを一旦、以下のようにおいてあげます。
上のようにおいてあげることで計算ミスが減ります。
垂直条件とベクトルの大きさを利用します。
- DB⊥AB⇔内積が0・・・①
- DB⊥BC⇔内積が０・・・②
- 辺DBの大きさ・・・③
①と②の内容を③に代入することでγを求めます。
以上により求めることができました。ただ、このまま放置で終わってはいけません。求めるのはベクトルODの位置ベクトルです。始点をOに変更して位置ベクトルを求めます。
