こんにちは。Horyです。
前回の記事では理論型・暗記型置き換え積分について学びました。
今回の記事では積分計算で置き換え積分と同様に重要な部分積分について原理を説明するとともに簡単な練習問題に取り組もうと思います。
今回も頑張りましょう。
部分積分とは・・・
そもそも部分積分とは何かということですが、簡単に説明すると積の微分を応用した積分です。
以下に実践してみます。
上の式の両辺をxで積分します。
つまり、関数の積で表された式を積分するとき、どちらか一方の原始関数を考えて、上の式の形に落とし込む手法を用います。
部分積分は以下のことが非常に重要です。
まぁ、ここまで説明してもやってみないと分からないので実践しましょう。置き換え積分よりも部分積分の方が難しいので数をこなして慣れるしかありません。
頑張りましょう。
部分積分 練習問題
以下に示すのはこの記事で取り組む部分積分の問題です。
これらの10問の計算問題に取り組もうと思います。
（１）解答・解説
（１）の解答・解説です。この問題は手法と解答をそのまま覚えるべき問題です。
かならず覚えてください。正直、所見の人はどうやって積分するのかと思いますが、logに1が掛けられていると考えて、1の原始関数を考えればいいです。
何度も言いますが、結果を暗記してください。
Logの関数が出る部分積分は1が掛けられていると考えて積分を行うことが多いです。
（２）解答・解説
ネイピア数と多項式関数の積の積分です。ネイピア数側を優先的に原始関数にすべきです。
（３）解答・解説
項式関数と対数関数の積の積分です。多項式関数の原始関数を活用します。
（４）解答・解説
多項式関数と三角関数の積の積分です。三角関数の原始関数を利用します。
部分積分が一回で終わらなければ二回実行するまでです。
値は自分で求めてみてください。
（５）解答・解説
ネイピア数と三角関数の積の積分です。ネイピア数の原始関数を考えましょう。
（５）別解
別解を示します。こちらのやり方の方が賢いかもしれません。
このように連立方程式を用いて解く方法もあります。
（６）（７）解答・解説
（５）の連立方程式を利用すれば一気に求めれます。もちろん正攻法でそのまま各個に求めても大丈夫です。
自分で解いてみてください。連立方程式を解けば求めることができます。
（８）解答・解説
部分積分を何回も用いる問題です。
計算が複雑ですが頑張ってください。
（９）解答・解説
（９）の解答・解説です。展開して愚直に計算するのも一つの方法ですが、せっかくなのでスマートな解答を示します。
上の式の赤い部分を即座に置き換えることに気付けるかが重要になります。
（１０）解答・解説
この積分計算は覚えるに値する価値があります。理由は別の記事で示す応用問題に絡んでくる式だからです。
部分積分と置き換え積分を使う良問でした。覚える価値があります。
