積分計算 理論型置き換え積分の攻略

こんにちは。horyです。

前回の記事では基本的な積分の計算問題に関して学びました。

今回は積分計算の中でも重要な「理論型置き換え積分」に関して話します。

今回も頑張りましょう。

理論型置き換え積分とは・・・

そもそも、理論型置き換え積分とは、カタマリと見たときに微分と積分の関係があることを利用して計算する方法です。

以下に例を示します。

こんな所でしょうか・・・とにかくカタマリで見たときに利用できそうなモノがあれば積極的に使います。まぁ、慣れるまで練習するしかありません。

置き換え積分を行うときには２つの注意点があります。

この２つのことは必ず頭に入れておきましょう。それでは、問題に移ります。

以下に示すのは理論型置き換え積分の計算問題です。

次の不定積分・定積分を計算せよ

この9問の計算問題に取り組もうと思います。

ルートがあればルートそのものを置き換えるのが効果的な場合があります。

置き換えたまま放置しないようにしてください。

「dx/x」をカタマリとみたら、「logx」を置き換えるのが効果的です。また、logは非常に扱いにくいのでlogの置き換えは有効です。

定積分なら置き換えた後の範囲の変化に注意です。

三角関数です。肩に乗っている数が奇数であれば置き換え積分が使えます。

これも肩に乗っている数が奇数なので置き換え積分が使えます。(4)と同じ要領です。

定積分の置き換え積分は範囲が変わることを忘れないでください。範囲が「プラスからマイナス？(1から-1)」と思うかもしれませんが、そのまま代入してください。xの変化に対してtがどう変化するかなので・・・

「tan」ですが、肩に乗っている数が奇数なのでなんとかできそうです。ただ、cosとsinにする必要があります。置き換え積分で「sinとcos」は相性が良いです。微積の関係で表裏一体の関係だからです。

（８）の解答・解説です。この積分はテクニックがいります。

ネイピア数は下準備なしで積分できるので、優先的に置き換えてください。