こんにちは。horyです。
前回の記事ではカタマリを利用する理論型置き換え積分の攻略を記事にまとめました。
今回の記事では暗記型置き換え積分に関して簡単にまとめました。
三角関数の基本ができていることを前提として話します。
今回も頑張りましょう。
暗記型置き換え積分とは・・・
暗記型置き換え積分とは理論型置き換え積分とは違いカタマリを利用できず、型を覚えていないと計算できない積分のことです。つまり、置き換え方法を覚えていないと解けません。
以下に示すのは暗記型置き換え積分の型です。
基本的に上の型は「x=sinθ」の形で置き換えた方が良いです。理由として符号変化をあまり起こさないからです(三角関数の定義的にcosの方が理にかなってるかもですが・・・)。
以上のように型が基本的に２つ存在し、これを覚えるところから始まります。
基本を習得したところで問題に取り組みましょう。
暗記型置き換え積分 問題
以下に示すのはこの記事で取り組む暗記型置き換え積分の問題です。
これら計７問を練習問題に取り組もうと思います。
（１）解答・解説
（１）の解答・解説です。定石通り「sin」で置き換えます。
また、別解になりますが、積分を使わなくても図形的な意味を考えればできます。どういうことかというと・・・
上の式は原点が中心の半径aの円である。
積分範囲からこの円の「0≦x≦a」の範囲の面積を求めれば良いので、図形的な意味から面積は円の面積の1/4です。
このように図形的な意味を考えてもできますが、この記事は積分の練習なので、図形的に解きたいのであれば各自で解いてください。
（２）解答・解説
（２）の解答・解説です。計算がかなり複雑ですが頑張りましょう。
（３）解答・解説
二乗の形になってないかもですが、平方完成で二乗の形を無理矢理作ります。
最初の方で少し工夫が必要なだけで、後は(1)と同じ要領でできてしまいます。
（４）解答・解説
この問題は「x=tan」で置き換えるのが効果的です。
（５）解答・解説
この問題も(4)と同様の置き換えを用います。計算がちょっと複雑です。
（６）解答・解説
これはtanではなく「x=sin」で置き換えます。
（７）解答・解説
この問題はかなり難しいですが、覚えておく価値ありです。「x=tan」と置き換えます。
ここで、cosの三乗が出てきました。ただ、肩に乗っている数が奇数なので理論型置き換え積分でなんとかなります。
置き換え積分を二回用いて、最後にはかなり難しい部分分数分解を用いる問題でした。
この問題ができたら置き換え積分の計算問題については敵なしといっても過言ではないでしょう。
