積分計算応用問題の攻略これだけはできてほしい一問

こんにちは。Horyです。

これまでに置き換え積分・部分積分など様々な計算問題に取り組みました。

今回の記事に書くのは、私が積分計算の分野の中でも知っているか・知っていないかで特に差がつく問題の一つを紹介します。

必ずできるようになってほしいとともに、解き方が複数あるので重要度は極めて高いです。

問題積分計算の応用

以下に示すのは私が積分計算の中でも特に重要だと思う問題です。

さて、実際の問題では誘導がつくので安心してください。やり方はパッと思いつくだけでも二つあります。

この二つの手法について個別に説明します。

最初に微分を利用する手法です。どんな関数を微分するのかですが・・・

この微分結果を起点として（１）を解いていきます。この微分は誘導で導出する場合が多いです。

（１）の解答・解説です。題意の関数に１が掛けられているとして１の原始関数を利用する部分積分を用います。

余談ですが、不定積分では積分定数を忘れないようにしてください。せっかく頑張って計算したのにしょうもないところで減点されるのはもったいないです。

（１）ができたなら、微分を起点にして計算するのみです。

二つ目に示す方法は双曲線関数を利用する方法です。双曲線関数自体は大学で扱うものですが、以下に示す三つの関数で「ハイパボリックsin・cos・tan」と呼ばれています。

これらの関数に関する詳しい記事は別の記事で行いますが、（１）はこの中のcosh xを利用します。一方で（２）はsinh xを利用します。

問題を解く前の下準備です。

下準備はこれで完了です。

（１）の解答・解説です。下準備を起点とします。

さて、ここでtを求めないといけません。

面白いことに微分を応用する際の下準備で用いた関数が出てきました。だから・・・

上の式の分子の計算は頑張ってください。これぐらいでへこたれていては数Ⅲはやっていけません。

（２）については自習問題とします。Sinh xを（１）と同様に利用すれば解けます。頑張ってください。