こんにちは。Horyです。
前回の記事では計算としての積分の意味を微分との関係性に焦点を当てながら解説しました(計算において微分と積分は表裏一体)。
今回の記事では、積分のもう一つの目的である面積を求めることについて、積分を行うとなぜ面積が導出できるかの原理に焦点を当てながら解説したいと思います。
今回も頑張りましょう。
積分と面積
積分の目的の一つに囲まれた図形の面積を求めることがあります。
例えば、以下に示す曲線「f(x)」とx軸で囲まれる部分の面積は「a≦x≦b」で以下のように表せます。面積をS(x)と表します。
面積は必ず正になることを忘れないでください。以下に示す図は「f(x)≧0」の場合の面積です。斜線部が面積になります。
次は、そもそも上の公式で何故、面積が導出されるかを解説します。
積分で面積が導出される理由
積分で面積が導出される理由を説明します。
以下に分かりやすいようにグラフを示します。
- 黒い斜線部の面積・・・S(x)
- 黒と赤の斜線部の面積の和・・・S(x+h)
- 赤い斜線部の面積・・・ΔS=S(x+h)-S(x)
ここで、幅Δxを極限まで0に近づけてみましょう。最小値や最大値がどうなっていくか考えてみてください。曲線f(x)の原始関数をF(x)とします。
Δx<0であったとしても上の極限は成立します。
以上から積分することで囲まれた部分の面積が求められます。
以下の図に示すような二つの曲線で囲まれた図形の面積は以下のように表せます。
