こんにちは。Horyです。
前回の記事ではアイスクリームのアイスとコーンの間にある微妙な空間の体積を求めました。
今回の記事では砂山を二つに分けたときの体積(円錐を斜めに切る)を求める問題に取り組もうと思います。この問題は、入試で出たら捨てるレベルの難しさの問題です。そういう意味で非常に重要な問題になるのでできるようになってほしいところです。
今回も頑張りましょう。
問題 砂山を二つに分ける
以下はこの記事で取り組む砂山を二つに分ける問題です。
この問題に取り組もうと思います。非常に難しいですが、できたときの達成感は計り知れないので頑張りましょう。
問題を解くための手順
問題の内容が非常に複雑なので手順を箇条書きで示します。
- 立体図を描く
- 自分に都合のいい座標を設定する
- z-y平面で断面図を考えて切り口を直線で図式化
- x-y平面で切り口の断面がどう見えるかを図式化
- x-y平面の切り口の断面に平行・垂直な座標軸を新たに設定する
- 設定した座標軸について、切り口の軌跡を方程式で表す。
- 切り口の軌跡による方程式を積分⇒断面積の関数を求める
- 断面積を積分して小さい量の砂の体積を求める
手順がかなり多いですが、頑張ってください。正直、私が見た問題の中で最難関レベルの問題の一つになります。
事前準備① 立体図形を描く
まずは立体図形を描きます。必ずやってください。
この時に、平面αも書いてみることで、断面がどうなるかをイメージしてみてください。
砂山の底面の中心を原点と置くと都合がいいですね。
ここで、基本的な座標の設定を行います。
事前準備② y-z平面の切り口を考える。
続いて、y-z平面での切り口を考えます。
直角二等辺三角形であることを利用しましょう。PRの長さを求めることが可能です。
事前準備③ x-y平面での切り口を考える。
続いてx-y平面で平面αtの切り口を考えます。
また、点の設定を行います。
ここで、今までに出てきたP,Q,Rがどのような関係になっているかを図にします。また、以下に示す図から新たな座標軸を設定します。
- PQをX軸
- PRをY軸
上のように新しい座標軸を設定します。また、新しく定義した点に関する説明です。
ここで、ベクトルAOとベクトルAR’はなす角が45°です。
ベクトルの内積によりXとYの関係式を求めることができます。
ただし、XY平面ではなく、xyz空間内でのなす角が45°なので座標を変換する必要があります。ここら辺がこの問題を最難関にしているゆえんです。
細かい計算は省略しましたがXとYの関係式を導出しました。
これで事前準備は完了です。
小さい方の断面積を求める
先に求めた「Y=の式」とX軸が囲む部分が切り口αによる断面積です。
上で求めたのは最初の図における緑の部分の断面積です。
小さい方の体積を求める
小さい方の体積を求める前に以下のように図を設定します。
平面αtは点Tを通って、直線z=-yに垂直な面です。なので、求める体積は・・・
よって大きい方の砂山を取れば約2.475倍得をすることが分かります。
