こんにちは。horyです。
今回の記事では直線の通過範囲を求める問題に取り組もうと思います。
前回は円周の通過範囲を求める問題を行いました。記事はこちらです。よければ読んでおいてください。
それでは今回も頑張りましょう。
直線の通過範囲を求める問題
以下はこの記事で取り組む問題です。
この問題も前回の記事と同じですが、条件の言い換えを用います。
aに関する二次方程式とみて実数解の存在条件を求める問題と言い換えます。
（１）解答・解説
aが全ての実数値をとって変化するので・・・
判別式が0以上であることが条件です。
（２）解答・解説
「a≧0」の範囲で変化するので・・・
「a≧0で少なくとも一つの実数解をもつこと」が条件です。
場合分けを行います。
- 「a≧0」に一つだけ実数解を持つ
- 「a≧0」に二つの実数解を持つ
個別に解説します。
また、二次関数は「下に凸の二次関数」で軸と頂点は・・・
「a≧0」に一つだけ実数解を持つ
「a≧0」に一つだけ実数解を持つ条件は・・・
- f(0)≦0
軸の位置によらず、下に凸の二次関数であれば、x=0のときの値が0以下であればa≧0に少なくとも一つの解を持ちます。
判別式の条件も書いてもいいですが、f(0)≦0のみで十分だとグラフを書けばわかります。
「a≧0」に二つ実数解を持つ
「a≧0」に二つ実数解を持つ条件は・・・
- 軸の位置≧0
- 判別式≧0
- f(0)≧0
和集合が求める領域です。
（３）解答・解説
「0≦a≦1」の範囲で変化するので・・・
「0≦a≦1」で少なくとも一つの実数解をもつこと」が条件です。
場合分けを行います。
- 「0≦a≦1」の範囲に一つの実数解を持つ
- 「0≦a≦1」の範囲に二つの実数解を持つ
条件ごとに個別に解説します。
「0≦a≦1」の範囲に一つの実数解を持つ
「0≦a≦1」の範囲に一つの実数解を持つ条件を以下にまとめます。
「0≦a≦1」の範囲に二つの実数解を持つ
「0≦a≦1」の範囲に二つの実数解を持つ条件を以下にまとめます。
（１）～（３）が表す図形
（１）～（３）が表す図形を以下に示します。
図の赤い斜線部が答えです。
