こんにちは。horyです。
前回の記事では無限級数の極限値を求める基本的な問題に焦点を当てて記事をまとめました。
今回の記事では無限級数の極限値の問題で場合分けがある問題の攻略に焦点を当てて記事をまとめました。
この記事を読む前に以下の記事を事前に読んでおくことをお勧めします。
今回も頑張りましょう。
問題 その1 無限等比級数の収束条件
以下はこの記事で取り組む無限等比級数の収束条件に関する問題です。
この問題を例に解説します。
解答・解説
問題 その１の解答・解説です。
この数列の初項と公比を以下に示します。
注意しなければならないのが初項の条件にも気を配らないといけません。また、分母が0になることはないので「x≠0」です。
ここで、数学Ⅰの不等式の処理の仕方を思い出してください。
以上からこの数列が収束するxの範囲は・・・「x>1」
収束値は以下のように表せます。
問題その2 等差と等比が入り混じった数列の級数
以下に示すのは等差と等比が入り混じった無限級数の収束値を求める問題です。
この問題を例に解説します。上の赤い部分で書かれたところは非常に大切です。証明についてはこの記事で解説せず、別の記事で解説します。
解答・解説
以下はこの問題の解答・解説です。
部分和の求め方については以下の記事でも解説しているのでやり方を忘れた人は再度復習してください。
「①-②」の引き算を実行します。
以上により部分和を求めることができたので部分和のnを正の無限大に飛ばします。
以上からこの無限級数は収束します。
問題 その３ 三角関数が関係する無限級数
最後は三角関数が関係する無限級数の極限値を求める問題です。
この問題を例に解説します。
問題 解答・解説
問題の解答解説です。数列と見たときに周期性があります。
なので・・・
以上のように部分和を求めることができました。mを無限大に発散します。
以上から、全ての場合において無限級数の極限値は一致するので、この無限級数は収束します。
