漸化式の基礎事項「特性方程式って何なんだ？」　原理と本質の理解

こんんちは。horyです。

いよいよ、漸化式について、このブログで触れるときが来ました。

漸化式では様々な数列を応用します。記事を読んでいない人は以下にこれまでに書いた記事をまとめるので読んでおいてください。

それでは、今回も頑張りましょう。

漸化式とは何か・・・

そもそも漸化式とは「数列の各項を順にただ一通りに定める規則を表す式」のことです。

具体的には以下の式で表されるものです。

上の式で表されていて、初項が判明していれば数列は一通りに表されます。つまり、一般項を求めることができると言うことです。

以下に基本的な漸化式を示します。

以上は今までに習得した数列の漸化式です。

問題は次のように表される漸化式です。問題と共に実戦してみましょう。

以下は問題です。

この問題を例に解説します。

昔の人はこのような漸化式を解く時に、この漸化式に何らかの工夫をすることで等比数列の型になってほしいと考えました。

このようになる何らかの数値αを求めることができれば(αが存在すれば)この形の漸化式を解くことができます。

②から①を引き算してみます。

上の説明で示した一次方程式というのが特性方程式と呼ばれるものです。

多くの学生は特性方程式の本質的な意味をよく知らないまま機械的に漸化式を解いていますが、意味を理解して解いた方が絶対にいいです。

ただ実際に問題を解くには上のようにはせずに以下のように進めればいいです。

まぁ、問題で実践します。ただ、この問題は意外なところに落とし穴があります。まぁ、察しのいい読者の方はもう気付いているかもしれませんが・・・

実際に問題を解いてみます。まずは、特性方程式を解きます。

何度も言っていますが、0で割ることはできません。そのため、今は「p≠1」と仮定します。

次回の記事で解説しますが、基本的に隣り合う漸化式はこの型から様々な型に派生しています。なので、この型の漸化式は必ず解けるようになってください。

補充問題を出します。

この問題を例に解説します。

まずは、特性方程式を解きます。

まずは、特性方程式を解きます。