こんにちは。horyです。
漸化式と極限は関係がかなり深く、数学Ⅲでは漸化式から数列の一般項を求めて極限を求める問題というのがかなりあります。
漸化式に関しては数学Ⅱの数列にて解説しているのでそちらを参考にしてください。
数Ⅲの極限の事項では数学Ⅲで初めて触れるような漸化式の極限についてまとめようと思います(数学Ⅱで触れた漸化式の極限については触れません)
今回の記事では数学Ⅲの漸化式の初めの一歩として三角関数が絡む漸化式に触れたいと思います。ひねりのある難しい問題ですが、触れているかいないかで差がつくと思います。
今回も頑張りましょう。
三角関数の漸化式に関する極限
以下に示すのはこの記事で取り組む三角関数の漸化式に関する極限の問題です。
この問題を例に解説します。
問題を解く前の下準備
問題を解く前の下準備です。
この手の問題ですが、加法定理を利用することに瞬時に気づけるかがポイントです。
また、角度が指数の形になっているのが気持ち悪いので・・・
上の式のようにおいてθの漸化式とできるかが重要です。
（1）解答・解説
（1）の解答・解説です。
下準備で行ったことを最大限利用します。
三角関数の倍角の公式を用います。倍角の公式に関する記事はこちらです。
ここからどうしたモノかと思いますが、両辺の逆数を取ります。
以上により隣り合う二項間の関係式を求めることができました。
（2）解答・解説
（2）の解答・解説です。（1）の関係式がヒントになっています。
無限級数の手順は「部分和→nを無限大に」です。まず、部分和を求めましょう。
上の式で赤い部分は全て消えます。
以上からこの無限級数は収束します。
