こんんちは。horyです。
今回の記事では正弦定理と余弦定理を用いた有名問題の攻略を中心に記事をまとめました。
本記事を読む前に以下の記事を読んでおくことをお勧めします。
問題
以下はこの記事で取り組む問題です。
非常に良い問題の一つです。
昔のセンター試験 (現 共通テスト)で出題されたことがあります。
何故なら、「正弦定理」・「余弦定理」・「sinを用いた三角形の面積公式」の全てを用いるからです。
また、「円に内接する四角形」ということも利用できそうです。
以下に図を示します。
（1）解答・解説
対角線BDを引きます。
対角線により三角形ABDと三角形CBDに分けます。
三角形ABDと三角形CBDに余弦定理を適用します。
「①=②」よりcosαを求めることができます。
（2）解答・解説
（1）よりsinαを求めることが可能です。
三角形の面積公式を用います。
（3）解答・解説
正弦定理を用いて外接円の半径を求めます。
外接円の半径をRとします。
トレミーの定理
この問題に関連する定理にトレミーの定理という有名な定理があります。
これは「四角形の対辺の積の和」が「四角形の対角線の積」に等しくなるという公式です。
以下に図を示します。
この公式が成立することを証明します。
証明方法は複数ありますが、今回は問題での解答を利用したいので、余弦定理を用いた証明を行います。
トレミーの定理の証明
三角形ABDと三角形CBDに余弦定理を用います。
①’と②’を連立させて対角線BDについての式を導出します。
同様に、三角形ACDと三角形CBAを余弦定理で連立させて対角線ACについての式を導出します。
以上によりトレミーの定理が成立しました。
