こんにちは。horyです。
三角関数の有名公式の1つに「正弦定理」という公式があります。
丸暗記していませんか？
今回の記事では正弦定理の原理と利用法について簡単にまとめました。
正弦定理
正弦定理とは、以下の図に示すように「三角形ABC」について、「半径Rの外接円」を考えたときに成り立つ次の公式のことです。
以上の公式が成り立つことを証明したいと思います。
証明方法はたくさんあると思いますが、「円周角の定理」を用いる証明方法で証明を行います。
円周角の定理についてはこちらの記事に書かれています。事前に読んでおくことをお勧めします。
正弦定理の証明
正弦定理は三角形の形状により証明方法が違います。
- 三角形ABCが鋭角三角形
- 三角形ABCが直角三角形
- 三角形ABCが鈍角三角形
三角形ABCが鋭角三角形
以下に図を示します。
円周角の定理と直角三角形の性質から次のことが成立します。
以上から正弦定理が成立します。
他の角度に関しても同様の手法を行うことで正弦定理が成立します。
三角形ABCが直角三角形
直角三角形の時はかなり簡単です。
以下に図を示します。
以上より、正弦定理が成立します。
三角形ABCが鈍角三角形
以下に図を示します。
以上から正弦定理が成立します。
他の角度の場合は鋭角三角形の時の証明を応用すればできます。
正弦定理の利用法
正弦定理は角度に関する情報が多い時の汎用性が高いです。
具体的には・・・
- ２つ以上の角度の情報が分かっている
- 外接円の半径が分かっている
以上のようなときに使えることを覚えておきましょう。
