んにちは。horyです。
正多角形に関する問題はたくさんあると思います。
今回は三角関数や図形の性質を用いた問題で正五角形が絡む面白い問題をいくつか紹介します。
個人的に覚えておく価値のある問題だと考えています。
正五角形に関する問題 その1
一つ目の正五角形に関する問題です。
以下の問題を例に解説します。
（1）（ⅰ）3倍角の公式を利用する
一見、54°の角度を求めることはできるのか？と思いますが・・・
有名角でなくても何倍かすることで有名角になれば突破口ができます。
3倍角の公式を利用するので振り返りです。
3倍角の公式は覚えなくても自分で作ることが可能です。
今回はsinの3倍角の公式を利用します。
この二次方程式を解けばcos36°を求めることができます。
ちなみに、18°の角度に関しては・・・
を用いて解くことが可能です。
「18°」・「36°」が求められるのであれば・・・
により90°の公式を利用すれば54°と72°を求めることが可能です。
3倍角の公式・半角の公式・90°の公式については以下の記事に詳しいことが書いてあります。
（1）（ⅱ）図形の性質を利用
図形の性質を利用します。
以下に二等辺三角形を示します。
△ABCと△BCDが相似の関係なので・・・
△ABCが二等辺三角形であることから以下の公式が成立します。
sinやcosの定義についてはこちらの記事に詳しいことが書いてあります。
（2）解答・解説
以下半径1の円に内接する正五角形の図を書きます。
以上の図より、正五角形は頂角が72°・等辺の長さが1の二等辺三角形5個からできているので、（1）と同様に36°=αと考えると・・・
正五角形に関する問題 その2
以下は正五角形に関する問題その2です。
ひとまず、状況を図に表します
この手の正多角形の辺の長さや面積を求める問題でまずやるべきことは相似な三角形を見つけることです。
この問題は自習としますが、かなり難しいのでヒントを出します。
ヒント
・（1）について
（1）に関しては三角形ACEと三角形AB’Eが相似であることを示せば良さそうです。
問題その1の(1)・(ⅱ)の方法と同じやり方で相似であることを証明します。
・（2）について
（2）に関してはABCDEの面積は以下のように表せます
頂点Bから辺ACに垂線の足Hを下ろしてみてください。
（1）で対角線の長さは求められているので、後は三角関数の定義を利用して辺と角度を対応させてsin54°・sin36°を求められれば勝ちです。
・（3）と（4）について
（3）と（4）に関しては三角形AB’Eと三角形EB’C’が相似であることを利用します。
これにより正五角形の相似比が求めれます。
（2）でABCDEの面積は求められているので・・・
