こんにちは。horyです。
正三角形と外接円に関する問題で面白い問題があるので今回の記事では、その問題の攻略に関してまとめました。
必要なら以下の記事を読んでおくことをお勧めします。
三角形と外接円 問題
以下はこの記事で取り組む問題です。
以下に図を示します。
角度は「円周角の定理」や「円に内接する四角形の定理」から求めることができます。
この問題を解説します。
問題を解く前の下準備
問題を解く前の下準備です。
正弦定理を用います。
以上からAP,BP,CPをθのみで表すことができます。
（1）解答・解説
下準備の①の式から・・・
後は代入して確かめるだけです。
右辺を変形して左辺になることを証明します。
以上より等式は成立します。
（2）解答・解説
愚直に代入して計算します。
以上より値を求めることができました。
（3）解答・解説
こちらも愚直に計算します。
以上より値を求めることができました。
別解集 エレガントな解放
上で紹介したやり方は愚直な計算を用いるやり方です。
もっとエレガントな方法があります。
以下は別解集です。
（1）別解 トレミーの定理
トレミーの定理はこちらの記事に書いていますので読んでおいてください。
トレミーの定理より・・・
（2）別解 式をうまいこと変形
（1）を利用します。
三角形BPCの余弦定理を使えそうです。
以上より・・・
（3）別解 式をうまいこと変形
これも同様に（1）・（2）を利用します。
