こんにちは。horyです。
前回の記事では極値を持たない条件や変曲点を持たない条件を求める問題に取り組みました。
今回の記事では極大値と極小値の和に関する条件を求める問題に取り組みます。
今回も頑張りましょう。
問題 極大値と極小値の和
以下に示すのはこの記事で取り組む問題です。
この問題を例に解説します。
問題を解く前の下準備
問題を解く前の下準備です。
まず、真数条件・分母≠0より「x>0」です。
この問題は3つのフェーズに分かれます。
- フェーズ1；導関数を求める
- フェーズ2；極大値と極小値を持つ条件を求める
- フェーズ3；極大値と極小値の和が0になるa,bの条件を求める
この3つのフェーズ通りにやれば問題ないと思います。余談ですが、この問題は「グラフの概形」を描く問題ではないので増減表とかは必要ありません。
フェーズ1 導関数を求める
フェーズ1として導関数を求めます。
- 分母；常に0以上
- 分子；符号変化する
以上から分子のみを見ます。分子を二次方程式(二次関数)の形にできることがポイントです。
フェーズ2；極大値と極小値を持つ条件
フェーズ2として極大値と極小値を持つ条件を求めます。
- 関数が極大値・極小値⇒導関数(分子)の符号変化
- 真数条件より「x>0」
- 「a=0」⇔「-x-3b=0」⇔極大のみor極小のみ⇔「a≠0」
気をつけてほしいのが「極大値と極小値」を持つ条件であることです。
よって分子について以下の条件を求めます。
- 判別式が0より大きい (異なる2実数解持つ)
- 軸が0より大きい範囲にある
- 「x=0(端点値)」での符号が0より大きい
①～③の共通範囲が極大値と極小値を持つ条件です。図示してみても良いかもしれません。①の範囲を求める時は気をつけてください。不等式の記事でも散々言いましたよね・・・
フェーズ3；極大値と極小値の和が0
二次方程式の解と係数の関係を応用します。記事はこちらです。
フェーズ1で求めた(分子)=0の2解をそれぞれαとβと置きます。
極大値と極小値の和を求めます。
ここで終わってはいけません。フェーズ2で立てた判別式の条件を用います。
赤い部分で不等号の向きが変わるのは-1をかけているからです。
