楕円の性質 原理と本質の理解

こんにちは。Horyです。

前回の記事では数学Cにおける放物線の原理と本質について学びました。

今回の記事では楕円の性質について原理と本質を学びたいと考えています。

今回も頑張りましょう。

数学における楕円の定義

数学における楕円の定義とは「2定点F,F’の距離の和が一定の点の集合」です。方程式は以下のように表せます。

また、上の公式を吟味すると楕円上の任意の点は以下のようにも表せます。

上のように考えると、円を拡張したものが楕円であるということができます。

上に示した楕円の方程式の証明を行います。

定義式にあてはめてみます。

以上から確かに楕円の方程式を導出することができました。

次に楕円の接線の方程式を求めます。放物線の時と同様に陰関数の微分が使えそうですね。

ここで楕円の接点をA(x1,y1)とします。

上の式の青い部分が楕円の接線の方程式です。

以下に示すのは楕円の基本問題です。必ずできるようになってください。

こちらの問題に取り組みます。放物線の時と同様に以下の手順で求めます。

題意の楕円は基本形を「x軸に+2」・「y軸に-1」だけ平行移動したものです。