楕円の応用 一定値を取ることの証明

こんにちは。今回も楕円の応用問題です。

今までに書いた楕円の応用問題と楕円の性質に関する記事はこちらになります。

今回の問題は具体的には線分の長さに関する式が一定値を取ることを証明する問題です。解答方法が複数あり、重要問題の１つになるので必ずできるようになっていただきたいです。

今回も頑張りましょう。

問題一定値を取ることの証明

以下に示すのは一定値を取ることを証明する問題です。

2点の座標を以下のように独立な文字で設定する方法です。

できないことはないかもしれませんが、相当しんどいです。文字が四つもあるので収拾がつかなくなります。やめといた方が良いです。

前回の楕円の性質の記事でも話したと思いますが、円を拡張したものが楕円です。つまり、楕円は円を「x軸・y軸」に「押しつぶしたり・広げたり」したものということです。

ただし、注意しなければならないこともあります。以下に図を示します。

設定した点の説明についてデス。

上の図を見れば分かると思いますが、楕円の時に90°だった角度が円に移した後も90°というのはあり得ません。これは注意してください。

要は、何を言っているのかというと、楕円上のP(a cosθ,b sinθ)を角θ’回転させたからと言って、
P’(a cos(θ+θ’),b sin(θ+θ’))とはならないと言うことです。

円であれば成立することが楕円で成立するとは限りません。楕円は円とは構造が違います。口酸っぱく言いますが、気をつけてください。

直線OQと直線ORが直交すると言うことは二直線の傾きの積は-1になります。

続いて、辺の長さの二乗を求めます。

これを用いてOQとORの二乗をtanで書き換えます。

足し算により和が一定になることを調べましょう。関係式①’は大いに利用できます。

計算は大変ですが、確かに一定値を示しました。

極形式により表す方法です。ただ、円ではないので係数に注意が必要です。

後は自分でやってみてください。