こんにちは。horyです。
今回の記事では条件を満たして動く点の軌跡について、基本事項をまとめるとともに簡単な問題の攻略と手順を紹介します。
数学の問題での軌跡とはなにか
まず、数学の問題における軌跡とは、「ある点Pが条件を満たして動くとき、Pの描く図形を求めることです。」
つまり、「条件と同値なx,yの関係式を満たす点(x,y)の集合」のことです。
ここで、軌跡の方程式で有名なのは・・・
- 円・・・点Aからの距離が一定の点の軌跡
- 垂直二等分線・・・２定点からの距離が等しい点の軌跡
- 角の二等分線・・・2直線からの距離が等しい点の軌跡
数学Ⅱで押さえてほしいのは以上の３つですが、これだけではなく、数Ⅲで習う楕円や双曲線などの二次曲線、サイクロイド・アステロイドといった複雑な曲線の軌跡を求める問題もあります。
それらについては別の記事で紹介します。
軌跡を求めるときは以下の手順を守ってください
- ①軌跡上の点Pの座標を(x,y)とおく
- ②条件をx,yの式で表す
- ③式変形を行い軌跡の方程式求める
- ④図形を説明する
上の手順以外にも以下のことを考える必要性があります。
- 定義域の確認
- 図形に対称性があるかどうか
- 特殊なときの見落としがないか(0で割れないときなど)
以上が問題を解くときの手順になります。
軌跡を求める簡単な問題
以下に簡単な問題を3つ示します。
手順通りに解いてみましょう。
この問題を手順通りに解いていきます。
（１）解答・解説
問題を解いていきます。
よって軌跡は円を描きます。
（２）解答・解説
問題を解いていきます。
よって軌跡は直線を描きます。
（３）解答・解説
問題を解いていきます。
以上で簡単な問題の紹介を終わります。
軌跡の問題は数学の様々な分野と融合させやすく、これよりも難しい問題はたくさんあるので勉強しておいてください。
