こんにちは。Horyです。
前回の記事では断面積を積分して体積を求める方法・回転体の体積を求める方法について解説を行いました。
今回は前回の記事を応用して曲線を折り曲げた図形が通過する部分の体積を求める問題に取り組もうと思います。
体積を求める問題の第一歩としては難しいかもしれませんが頑張りましょう。
余談ですが、立体の問題に取り組むときに意識すべきことは・・・
- 対称面での切り口を考える
- ３次元⇒2次元 (切り口の断面・平面)
もしよかったらこの記事の問題にも取り組んでみてください。
曲線を折り曲げて通過する部分の体積
以下はこの記事で取り組む問題になります。
この問題を例に解説します。
この問題の手順は以下の通りです。
- （１）で断面積の関数S(k)を求める
- （２）で断面積の関数をk=0から1の範囲で積分する
この手順で攻略しましょう。
（１）解答・解説
まずは、平面図を描きましょう。
上の図の斜線部の面積が断面積です。この斜線部をx軸に垂直に折り曲げるという構図です。
折り曲げた後の図を以下に示します。
さて、積分の方法ですが、二つの方法があります。
- 「関数；x=の式」と「x=k」が囲む面積とみてyで積分・・・①
- 「関数；y=の式(に直して)」で「kから１」の範囲で積分⇒対称性・・・②
ここで、普通に積分しても良いですが、せっかくなら「1/6公式」を用いて楽しましょうよ。
（２）解答・解説
（２）の解答解説です。（１）で求めた断面積の関数をｋで積分します。
この関数の積分は原始関数の積分でも言ったとおりの積分方法になります。詳しい記事はこちらです。ただ、置き換え積分でもできます。
