こんにちは。horyです。
今回の記事から数学Ⅱの図形と方程式の分野に入ります。
図形と方程式で最初に習うのが数直線や座標平面における点の位置関係です。
主に二点間の距離を求めたりすることがメインになります。
数直線上での点の位置関係
数直線上での点の位置関係についてカテゴリーごとに簡単にまとめます。
- 数直線上での二点間の距離
- 数直線上での内分点の座標
- 数直線上での外分点の座標
数直線上での二点間の距離
数直線上での二点間の距離についてです。
距離は絶対に正の値しか取りません。そのため絶対値が絡みます。
数直線上で原点Oの座標を0、点Aの座標をα、点Bの座標をβと考えます。
二点間の距離は以下のように定義できます。
以下に図を示します。
数直線上での内分点の座標
数直線上で点Aの座標をα、点Bの座標をβ、点Pの座標をxと考えます。
PはABを以下の式に示すように内分するとき、Pの座標をαとβを用いてどのように表せるか考えます。
以下に図を示します。
座標の大小関係は上図の位置関係を参照にします。
比の関係式に代入することでxを求めます。
余談ですが、PがABの中点であれば・・・
数直線上での外分点の座標
A,B,Pの座標は内分点の時と同様です。
Pが線分ABの延長上にあるとします。
以下に図を示します。
座標の大小関係は上図の位置関係を参照にします。
比の関係式に代入することでxを求めます。
ちなみにですが、点A,Bが一致するときは内分も外分も定義できません。
座標平面上での点の位置関係
座標平面上での点の位置関係についてカテゴリーごとに簡単にまとめます。
- 座標平面上での二点間の距離
- 座標平面上での内分点・外分点
- 三角形の重心座標
座標平面での二点間の距離
座標平面上での二点間ABの距離について考えます。
以下に図を示します。
三平方の定理を用いればAB間の距離を求めることが可能です。
特に、座標が以下のようなときは・・・
座標平面上での内分点・外分点
座標平面上での内分点や外分点については数直線での内分点や外分点の証明を応用すれば良いだけです。
つまり、数直線での証明をx軸とy軸に分けて応用するだけです。
以下の二点ABをm：nに内分・外分する点Pを考えます。
三角形の重心の座標
三角形の重心の座標についてです。
三角形の重心についてはこちらの記事に書かれているので読んでおいてください。
三角形の三頂点A,B,Cを図のように定義します。
三角形の重心Gの座標は以下のように表せます。
なぜこのように表せるかを証明します。
三角形の重心座標 原理の証明
まず、三角形の重心の定義からMはBCの中点です。
重心GがAMを2：1に内分しているので内分点の公式を利用します。
