こんにちは。Horyです。
今回の記事では数学Ⅲの関数における解の個数を求める問題に取り組みます。
解の個数に関する問題はこちらの記事に解説してあるので読んでおいてください。
今回、出題する問題は二問です。二問目が少々難しいです。
また、基本的に解の個数を調べる問題はグラフを描けないとできません。グラフの描き方はこちらの記事に示してあります。
今回も頑張りましょう。
問題1 解の個数に関する問題
以下に示すのは今回取り組む解の個数に関する問題です。
この問題を例に解説します。
問題を解く前の下準備
まずは、問題を解く前の下準備です。
実数aを分離する分離法を用います。
上の二つの関数を連立させて共有点の個数を調べます。共有点の個数が実数解の個数になります。
そのために関数のグラフを描かないといけません。
ステップ① 定義域の調査
ステップ①は定義域の調査です。「分母≠0」の条件です。
ステップ③ 関数の増減
この関数に対称性や周期性はないのでステップ②は飛ばします。また、凹凸を調べる必要はないので今回は調べません。
- 赤い部分は常に0より大きい
- 青い部分のみを意識すればいい
ステップ④ 増減表を書く
微分を利用して増減表を書きます。
ステップ⑤ 極限と漸近線
極限と漸近線です。②の公式を利用します。
ステップ⑥ グラフと解の個数
以下にグラフと解の個数がaの値によってどう変化するかを示します。
問題2 解の個数に関する問題
こちらの問題は少々難しいです。頑張りましょう。
この問題を例に解説します。
やめた方がいいやり方
分離法を用いますが、展開を使うのは得策ではありません。
上のkに関する二次方程式を解いて分離しますが、計算が煩雑になり得策とは言えません。
おすすめの方法
以下に示すのはお勧めの方法です。
このようにyの二乗を取り、線形計画法を用いて解きます。
また、yについて解いたとき、符号が一致していないといけません。そのため、解の個数は・・・
g(x)は傾きが２であり、切片がkの直線です。つまり、切片の値の変化で共有点の個数がどうなるかを調べればいいのです。まずは、y=±f(x)のグラフを描きましょう。
ステップ①② 定義域の調査・対称性
まずは、定義域の調査です。
また、対称性についてですが、求めるグラフは「y=f(x)」と「y=-f(x)」のグラフを合わせたものであるのでx軸について対称です。
ステップ③④ 微分と増減表
関数を微分して導関数を求めます。「y=f(x)」を考えます。
グラフと実数解の個数
以下に関数のグラフを示します。
特殊な状況における実数kの値を導出します。
- 直線が点(1,0)を通る
- 直線が曲線に接する
