こんにちは。horyです。
このブログでもいよいよ数学Ⅲの内容に足を踏み入れるときが来ました。数学Ⅲで最初に学ばなければならないのは極限の概念です。今回は極限の概念を簡単に説明すると共に数列の極限に関する基本事項を解説しようと思います。
今回も頑張りましょう。
極限とは・・・
そもそも、極限とは関数の変数・数列の項数nを無限大や特定の値に近づけたとき、関数や数列はどんな値かを探ることが目的です。
ここで、重要なのは「近づける」という表現を用いていることです。この表現を勘違いする人が非常に多いです。
以下では極限で出てくる記号の意味を説明します。使えるようになってください。
極限を取るときは「lim」という記号を用います。上に示しましたが、意味を的確に覚えてください。
数列の極限
数列において項が無限に続く数列を無限数列と言います
数列において「項数n」を無限大に発散させたときに数列がどのようになるかですが・・・
まずは、nを無限大に発散させたとき、数列が収束するときは
そして、数列が収束しないときは以下の３つのパターンがあります。
数列の極限の性質
以下に示す２つの数列はnを無限大に発散させたとき、収束すると考えます。
２つの数列の和・差・積・比の極限について以下のことが成立します。
ちなみに、非常に重要なことですが、極限の計算について、各部分がそれぞれ全て収束できることが確認できるまでバラバラにすることはできません。上の法則は２つの無限数列の極限値がそれぞれ収束すると分かっている(仮定した)ため計算ができています。この確認を怠った場合答えはあっていても減点される場合があるので注意です(意外な落とし穴)。
上のことですが、僕も忘れるときがあります。
また、極限値の不等式について、以下の重要な式があります。
上から２番目の公式は「はさみうちの原理」と呼ばれるもので汎用性が非常に高いです。
上から３番目の公式は「追い出しの原理」と呼ばれるもので見落としが多いです。
以上の数列の極限の基本的な性質は非常に重要なので手足のように使えるようになりましょう。
