こんにちは。Horyです。
前回の記事では積分により面積がなぜ出せるのかを解説しました。
今回の記事では数Ⅱの積分便利公式をまとめると共に「1/6公式」の原理を解説します。基本的に全ての数Ⅱの積分便利公式は「1/6公式」を応用します。
今回も頑張りましょう。
便利公式
以下にこの記事で紹介する便利公式をまとめます。
- 放物線と直線によって囲まれた図形の面積
- 放物線と放物線で囲まれた図形の面積
- ２つの放物線とその共通接線で囲まれた図形の面積
- 放物線と２つの接線で囲まれた図形の面積
- 放物線と接線で囲まれた図形の面積
放物線と直線で囲まれた図形 (1/6公式)
放物線と直線で囲まれた図形の面積を導出します。以下に図を示します。図の斜線部が求める面積です。
上に示す面積公式が「1/6公式」と呼ばれるモノです。何故そうなるかを説明します。
「放物線の式」-「直線の式」を考えます。
放物線と直線の共有点から上の式のように変形できることはまぁ分かると思います。
愚直に積分計算を行って面積を求めます。
以上により公式を証明できました。「1/6公式」は裏技でもなく愚直に計算をして求めた計算結果の暗記です(笑)。
放物線と放物線で囲まれた図形の面積
放物線と放物線で囲まれた図形の面積です。
以下に図を示します。
２つの放物線とその共通接線で囲まれた図形の面積
２つの放物線とその共通接線で囲まれた図形の面積を求めます。
以下に図を示します。
この面積公式は２つの放物線の「xの二乗」にかかる係数が同じでないと使えないことには注意です。
放物線と２つの接線で囲まれる図形の面積
放物線と２つの接線で囲まれる図形の面積を求めます。
以下に図を示します。
放物線と接線で囲まれる図形の面積
放物線と接線で囲まれる図形の面積を求めます。
最後に・・・
最後に、積分を用いて面積を導出する際に意識すべきことをまとめます。
- 微分を完璧に→グラフ描けないと面積求めるのはムズい
- 対称性や周期性を特に意識せよ→簡略化
- 三角形・長方形・台形→積分を用いなくても求めれる面積は積分使わなくて良い
- 求める面積のフローチャート化(どの図からどの図を差し引く)→ミスが減る
これら４点を意識すると少しは楽になるかと思います。
