こんにちは。horyです。
前回の記事では微分の応用として関数の最大値・最小値を求める問題に取り組みました。
今回の記事では接線の本数を求める問題に取り組みます。これも重要な問題なので必ずできるようになってほしいです。
問題 接線の本数を求める
以下はこの記事で取り組む接線の本数を求める問題です。
この問題を例に解説します。
接線に関する問題で接点に関する情報がない時は、まず、接点の設定から始めてください。
（１）解答・解説
（１）の解答・解説です。
まずは接点の設定から始めます。任意の実数をtと置きます。
接線が2本あるということは①の方程式が異なる実数解を二つ持つことを意味します。つまり①の方程式を満たす実数tの数が接線の本数であると言えます。
「判別式D>0」を満たせばいいです。
上の式の赤い部分を座標平面に図示すれば勝ちです。領域の図示は自習とします。
（２）解答・解説
（２）の解答・解説です。
こちらの問題もまずは接点の設定から始めます。
接線が3本あるということは①の方程式が異なる実数解を３つ持つことを意味します。つまり①の方程式を満たす実数tの数が接線の本数であると言えます。
①の方程式が３次方程式なので判別式によって個数は求められません。そのため、①の左辺をg(t)と置きます。
さて、異なる3つの実数解を持つ条件ですが、ちょっと図にしてみます。
図を見てもらうとイメージしやすいと思いますが、極大値と極小値の積が0より小さければ異なる3つの実数解を持つと言えます。この方法は結構使うので覚えておいてください。
上の式の赤い部分を座標平面に図示すれば勝ちです。領域の図示は自習とします。
